Hyperbolische Funktionen

Lösen Sie die Gleichungen:

a)

b)

Lösung:

a)

Aus den Umrechnungsformeln für Hyperbelfunktionen folgt

Eine Umformung der Ausgangsgleichung ergibt

Mit der Umrechnungsformel folgt daraus

bzw.

Diese Gleichung läßt sich einfach durch Multiplikation beider Seiten mit umformen:

An dieser Stelle ist es zweckmäßig, die Substitution einzuführen. Damit ergibt sich eine quadratische Gleichung

Die Lösung der quadratischen Gleichung ergibt

Den gesuchten Wert für x erhält man durch Logarithmieren der Größe u. Da der Logarithmus nur für positive Werte definiert ist, existiert nur eine Lösung

die logarithmiert werden kann. Man erhält als Lösung

b)

In den Umrechnungsformeln findet man Beziehungen für und . Werden diese Beziehungen in die Ausgangsgleichung eingesetzt, ergibt sich die Gleichung

Durch Ausmultiplizieren der rechten Seite und Umformung erhält man

Daraus kann man kürzen:

bzw.