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Die Verpackung eines bestimmten Produktes muß die Länge von 
cm
haben. Der Deckel des verwendeten Kartons soll das Unterteil um 3 cm
überlappen (siehe Abbildung).
Das Volumen des Kartons sei 
.
Welche Breite und Höhe hat der Karton, wenn das verwendete Material ein Minimum sein soll?
Lösung:
Wir bezeichnen die Breite mit x und die Höhe mit y. Dann lassen sich folgende Beziehungen aufstellen
Die Größe A bezeichnet die Oberfläche des Kartons und des Deckels. Die letzten beiden Summanden in (2) sind durch die Deckelränder verursacht.
Aus (1) erhält man eine Beziehung für y. Wird diese in (3) eingesetzt, so ergibt sich
Um den Wert für x zu bekommen, bei dem das verwendete Material ein Minimum ist, muß die erste Ableitung gebildet und Null gesetzt werden
Daraus ergibt sich
Der positive Wert in (1) eingesetzt, denn nur dieser ist physikalisch sinnvoll, ergibt die Höhe des Kartons
Die zweite Ableitung von (4) liefert die Information, ob es sich in diesem Fall um ein Minimum oder Maximum handelt:
Diese Ableitung ist für 
immer positiv. Das bedeutet, unsere Lösung führt
zu einem Karton mit minimalen Materialaufwand.
