Unscharfe Menge

Modellierung unscharfer Mengen (Fuzzy-Sets, Fuzzy-Mengen): Auch Zugehörigkeitsgrade zwischen 0 und 1 zulässig.

Zugehörigkeitsgrad von zur Menge ist .
 
Unscharfe Teilmenge ( fuzzy subset) A einer Menge X ist gekennzeichnet durch ihre Zugehörigkeitsfunktion (auch als     Mitgliedschaftsfunktion oder membership function bezeichnet):

die jedem Element x aus X eine Zahl im Intervall zuordnet, die den Grad der Zugehörigkeit von x in A repräsentiert.
 
X repräsentiert den Grundbereich, der geeignet zu wählen ist. Die scharfen Mengen werden als spezielle unscharfe Mengen interpretiert, bei denen nur die Werte 0 und 1 als Zugehörigkeitswerte vorkommen.
Gleichheit zweier unscharfer Mengen A und B: die Werte ihrer Zugehörigkeitsfunktion sind gleich: , falls für alle . Eine andere Beschreibungsform ist gegeben durch

Singletons:   Wertepaare mit einem Ordinatenwert und einen Abszissenwert . Inhaltlich entspricht dieser Darstellung der Darstellung von Punkten in .

Für diskrete und endliche Stützmengen von A gilt die Summendarstellung:

Der Zugehörigkeitsgrad in einer Fuzzy-Menge A selbst darf dort auch wieder eine Fuzzy-Menge sein.
Ultrafuzzy-Sets:  Fuzzy-Sets, deren Zugehörigkeitsfunktion selbst wieder ein Fuzzy-Set ist.
 
Das Pluszeichen kennzeichnet die Vereinigungsbildung und nicht die arithmetische Summe.
 
Ist der Grundbereich X unendlich, wird das Summenzeichen symbolisch durch das Integralzeichen ersetzt:

 
Summenzeichen und Integralzeichen sind hier als abkürzende Symbole zu verstehen, diese Zeichen und ebenso das Divisionszeichen werden nicht als Operationszeichen benutzt.