Komplexe Zahlen

Formen Sie die folgenden Aufgaben in die Form um:

a)

b)

c)

d)

Lösung:

a)

Es muß die Gleichung gelöst werden. Durch Quadrieren erhält man

Aus dieser Gleichung ergeben sich zwei Bestimmungsgleichungen für die Unbekannten .

Aus der zweiten Gleichung folgt . Setzt man dies in die erste Gleichung ein, so ergibt sich eine Gleichung 4. Grades

Dies ist eine biquadratische Gleichung. Als Lösung findet man

Die beiden letzten Lösungen führen zu imaginären Werten für y, die aber per definitionem eine reelle Zahl sein soll. Deshalb bleiben als einzig mögliche Lösungen .

Damit ergibt sich für . Daraus folgt

b)

Die Lösung erfolgt analog zur Lösung der Aufgabe a). Quadrieren der Ausgangsgleichung und Gleichsetzen des Realteils sowie des Imginärteils führt auf eine Gleichung 4. Grades. Dies ergibt als Lösung

Die beiden letzten Lösungen sind wieder imaginäre Zahlen und fallen deshalb als Lösungen aus. Die Lösungen lauten: . Daraus folgen und

c)

Durch Quadrieren der Gleichung ergibt sich

Durch Einsetzen des x-Wertes aus der zweiten Gleichung in die erste und Umformung erhält man die Gleichung 4. Grades

Die anderen beiden Lösungen sind imaginär. Damit wird . D.h.

d)

Quadrieren der Gleichung liefert

In Mathematica bzw. MapleV sind solche Aufgaben leicht zu lösen

Mathematica

z.B.

ComplexExpand[Sqrt[1-I Sqrt[3]]]

MapleV

z.B.

simplify(sqrt(1- I sqrt(3)));