Kurvendiskussion/Marktforschung - Törnquistfunktion

In der Marktforschung finden die

Törnquistfunktion I und die

Törnquistfunktion II

Anwendung. Dabei bedeuten y die Zielgröße, t die Zeit, k ein Sättigungsniveau, Parameter.

Bestimmen Sie den Verlauf dieser Funktionen und den Grenzwert für .

Lösung:

Für die Darstellung des Kurvenverlaufs können die Mathematikprogramme Mathematica und MapleV verwendet werden. Aber auch Tabellenkalkulationsprogramme wie Excell und Lotus 1-2-3 sind zur Darstellung der Kurvendiagramme geeignet.

Verfolgen Sie den Verlauf der Kurven, indem Sie die Werte der Parameter a und b ändern.

Mathematica

Für die Törnquistfunktion I programmiert man in Mathematica:

Plot[Evaluate[Table[100 x)/(x+a),
{a,10,60,10}]]{x,0,1000}] <shift+enter>

Für die Törnquistfunktion II entsprechend

Plot[Evaluate[Table[100 (x+a)/(x+25),
{a,10,60,10}]]{x,0,1000}] <shift+enter>

MapleV

Törnquistfunktion I

 y:=100*x/(x+a);
 p:={}:
 for i in
 [10,20,30,40,50,60] do
 p:=p union {subs(a=i,y)} od:
 plot(p,x=0..1000,0..300);

Törnquistfunktion II

In diesem Fall ist nur die Funktion y zu ersetzen:

 y:= 100*(x+a)/(x+25);
  p:={}:
  for i in
  [10,20,30,40,50,60] do
  p:=p union {subs(a=i,y)} od:
  plot(p,x=0..1000,0..300);

Beide Kurven streben dem Grenzwert zu. Für die Törnquistfunktion II ist die Kurve für monoton steigend und für monoton fallend. Die Törnquistfunktion I dagegen ist für alle Werte a monoton steigend.

Der Grenzwert muß mit Hilfe der Regel von l'Hospital errechnet werden, da Nenner und Zähler bei gegen unendlich streben. Beide Funktionen streben den Grenzwert k an.