Lineare (Un-) Abhängigkeit von Vektoren

 
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Linear abhängige Vektoren,   , es existiert eine Linearkombination der n Vektoren, die verschwindet,

obwohl die Koeffizienten nicht alle gleichzeitig Null sind.
 
Bei linear abhängigen Vektoren ist wenigstens einer der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren, d.h. als Summe von Vielfachen der anderen Vektoren, darstellbar.
 
Kollineare Vektoren,  parallele oder antiparallele Vektoren und , einer der beiden Vektoren ist ein Vielfaches des anderen Vektors .

 
Kollineare Vektoren sind linear abhängig: Jeder Vektor kann durch ein Vielfaches eines parallelen Vektors dargestellt werden!
 
Komplanare Vektoren,   zwei (oder mehr) in einer Ebene liegende Vektoren und .
 
Drei oder mehr Vektoren in sind linear abhängig: Jeder Vektor in einer Ebene kann durch eine Summe von Vielfachen zweier linear unabhängiger Vektoren in der Ebene dargestellt werden.

 
Drei Vektoren des liegen in einer Ebene, wenn die Determinante ihrer Komponenten verschwindet:

 
Linear unabhängige Vektoren,   , alle Linearkombinationen verschwinden dann und nur dann, wenn alle verschwinden, :

 
Zwei nicht kollineare Vektoren bzw. drei nicht komplanare Vektoren sind linear unabhängig.
 
Ist die Zahl der Vektoren n größer als die Dimension m des Vektorraumes, so sind die Vektoren immer linear abhängig.
 
Drei Vektoren in einer Ebene und vier Vektoren in einem dreidimensionalen Raum sind immer linear abhängig, d.h., man kann einen Vektor als Summe des Vielfachen der anderen Vektoren ausdrücken.