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Inhomogenes lineares Gleichungssystem,
mindestens eine
Komponente von 
ist ungleich null, 
.
Bei quadratischer Matrix 
nur eindeutig lösbar, wenn 
regulär ist, 
.
Jedes homogene System ist lösbar.
Triviale Lösung, die
Lösung 
.
Rang r des Gleichungssystems ist die Zahl r aus
der Trapezform des linearen Gleichungssystems.
r ist die Maximalzahl von Gleichungen, die voneinander unabhängig sind.
r ist gleichzeitig der
Rang der Koeffizientenmatrix 
, d.h. die Maximalzahl linear
unabhängiger Zeilenvektoren von 
.
Falls der Rang der Matrix 
und der Rang der um den
Vektor 
der rechten Seite erweiterten Matrix
übereinstimmen, so ist das lineare Gleichungssystem 
lösbar. Ist das Gleichungssystem lösbar, so ist der
Rang der erweiterten Matrix 
gleich dem Rang der
Koeffizientenmatrix 
.
Erweiterte 
-Matrix:
Für quadratische 
-Gleichungssysteme ist die
-Koeffizientenmatrix 
regulär, wenn der Rang
r gleich der Anzahl n der Zeilen ist. Dies ist der Fall für
.
Durch das Gauß-Verfahren wird A mit elementaren Umformungen
und evtl. Zeilen- oder Spaltenvertauschungen in eine äquivalenten Dreiecksmatrix
überführt.
Die Determinanten von 
und 
unterscheiden
sich höchstens im Vorzeichen, ihr Betrag ist das Produkt der
Hauptdiagonalelemente von 
:
m ist dabei die Anzahl der Zeilen-/Spaltenvertauschungen.
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