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Extrema einer Funktion 
gesucht, mit der
Nebenbedingung 
.
Damit ist eine zweidimensionale Funktion, eine Raumkurve
gegeben. Deren Extremum wird gesucht.
Maximum der Höhe 
für vorgegebene Wanderstrecke
gesucht.
Lagrangesche Multiplikatorenregel,
zur Extremwertbestimmung betrachtet man die Funktion
mit einem (unbekanntem) Multiplikator L und setzt deren partielle Ableitungen gleich Null (notwendige Bedingung):
Damit hat man drei Bestimmungsgleichungen für die drei
Unbekannten x, y, L, die man lösen muß.
Rechteck mit maximaler Fläche bei
konstantem Umfang U:
Fläche: 
Umfang U: 
,
,
, 
,
das Rechteck mit maximaler Fläche bei gegebenem Umfang ist das
Quadrat.
Der Multiplikator L ist nur Hilfsgröße, sein Wert wird
nicht benötigt.
Er wird deshalb möglichst gleich am Anfang der Rechnung
eliminiert.
Verallgemeinerung: Die Funktion
mit m<n Nebenbedingungen der Form
ist
vorgegeben.
Man betrachtet die Funktion
mit m Multiplikatoren 
und bestimmt die
gesuchten Extrema aus
Man hat dann 
Bedingungsgleichungen für die m Werte 
und die n Werte 
, die man nun nach den 
auflösen muß.
Man eliminiere zuerst die Hilfsgrößen 
.
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