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die
Bildfunktion
zu. Die neue Variable 
ist im allgemeinen
komplex, 
.
Laplace-Transformierte, Bildfunktion 
von
.
Korrespondenz, symbolische Schreibweise für das Funktionenpaar
Originalfunktion 
und Bildfunktion 
:
Konvergenzbedingungen für die Laplace-Transformation,
Originalfunktion (Zeitfunktion) 
muß für 
verschwinden, 
, für 
vollständig bekannt und
auf dem Intervall
integrierbar sein.
Dämpfungsfaktor, 
bewirkt, daß das Integral für möglichst viele Originalfunktionen
konvergiert, d.h.
exponentielle Wachstumsbeschränkung der Originalfunktion 
:
Mit diesen Bedingungen konvergiert das Integral für Re s > c.
Durch die Laplace-Transformation werden Differentialgleichungen
in der Variablen t (physikalische Interpretation: Zeit) in
algebraische Gleichungen mit der Variablen s umgewandelt. Weil s
zeitunabhängig ist, ist s bei der Integration über t eine Konstante.
Sprungfunktion, wird wie folgt definiert:
Andere gebräuchliche Bezeichnungen für die
Sprungfunktion 
sind
, 
und 
. Die Funktion 
ist
hier nicht mit der Thetafunktion zu verwechseln.
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