Pivotisierung

Das Gauß-Verfahren versagt, falls das Diagonalelement oder Pivotelement (engl. für Dreh- und Angelpunkt) eines Eliminationsschrittes gleich null ist, (Abbruch des Verfahrens bei Division durch null).
 
Pivotsuche:  Ist ein Diagonalelement , so vertauscht man die Pivot-Zeile  k vor Ausführung des k-ten Eliminationsschrittes mit derjenigen Zeile m>k, die den betragsmäßig größten Koeffizienten für besitzt:

Neue Pivotzeile m, neues Pivotelement  .

Eine noch weitergehende Pivotstrategie ( Totalpivotisierung),  die eine weitgehende Äquilibrierung der Matrix voraussetzt, sucht das betragsgrößte Element unter allen Matrixelementen. Zur Vertauschung dieses Elements an die Stelle sind Zeilen- und Spaltenvertauschungen erforderlich; Spaltenvertauschungen in einem linearen Gleichungssystem entsprechen einer Umnumerierung der Unbekannten, die zusätzlich durchgeführt werden muß.
 
Aus Gründen der numerischen Stabilität ist Pivotisierung oft auch für sinnvoll, da bei schlecht 'konditionierten' Gleichungssystemen (im Zweidimensionalen: zwei Geraden mit fast gleicher Steigung) sonst bei der Division durch kleine Diagonalelemente eine starke Fehlerfortpflanzung auftreten kann.

Für numerische Rechnungen mit dem Gaußschen Algorithmus ist Zeilenpivotisierung in jedem Fall sinnvoll, Totalpivotisierung empfehlenswert. Ist die Matrix A symmetrisch und positiv definit, so kann auf Pivotisierung verzichtet werden.