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Die Idee der Romberg-Integration ist, zusätzlich zu einer feineren Unterteilung der Intervalle in der Trapezregel den Integrations-Fehler abzuschätzen und in die Integralberechnung mit einzubeziehen (Extrapolation). Dadurch erhöht sich die Ordnung des Fehlergliedes, und man braucht meist wesentlich weniger Iterationsschritte, um die gewünschte Genauigkeit zu erreichen.
Die Berechnungsvorschrift nach Romberg lautet:
Der Index j bezeichnet die Anzahl der Unterteilungen des Intervalles bei der Trapezregel, k ist ein Maß für die Fehlerordnung der Näherung.
Programmablauf:
).
über die
summierte Trapezformel für 
Intervalle.
das genäherte Integral 
mit
über die
oben angegebene Romberg-Beziehung.
Tabellierte Daten können mit der
Romberg-Integration meist nicht berechnet werden, da die Schrittweite
immer weiter halbierbar sein muß.
Hauptanwendung bei analytisch angegebenen Funktionen.
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