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Für eine differenzierbare Funktion gilt
Die Funktion 
besitzt an der Stelle 
ein relatives
Extremum, falls in einer Umgebung U von 
alle Funktionswerte kleiner (Maximum) oder alle Funktionswerte
größer als 
(Minimum) sind:
Bei differenzierbaren Funktionen liegt
zwischen zwei verschiedenartigen Monotoniebögen ein relatives Extremum.
Bei einem Extremum ändert sich das Vorzeichen der Steigung.
Hinreichende Bedingung für ein Maximum/Minimum:
Es gibt genau dann ein Extremum bei 
, wenn
die 1. Ableitung gleich Null ist und die
erste höhere Ableitung, die an der Stelle 
ungleich Null ist, von gerader Ordnung ist.
Notwendige und hinreichende Bedingung für:
Ist 
ein Extremum einer differenzierbaren Funktion, so
muß gelten (notwendige Bedingung):
oder 
ist nicht definiert.
An einem Extremum verläuft die Tangente entweder parallel zur x-Achse oder sie ist nicht definiert.
Ist die 1. Ableitung gleich Null, so kann auch ein Sattelpunkt vorliegen.
, 
, 
,
aber kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt bei 
.
Extrema sowie Steigungsverhalten der Funktion können
aus einer Vorzeichenskizze der Ableitung bestimmt werden.
links Ursprungsfunktion (I: monoton fallend II: Extremum III: monoton steigend) rechts Ableitungsfunktion
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