Rang einer Matrix

Rang einer Matrix,  , die höchste Ordnung aller von null verschiedenen Unterdeterminanten von .
 
Für eine -Matrix mit gilt: besitzt mindestens eine Unterdeterminante der r-ten Ordnung, die ungleich null ist. Alle Unterdeterminanten mit einer Ordnung größer als r verschwinden.
 
Lösbarkeitskriterium für lineare Gleichungsysteme:   Ein lineares Gleichungssystem ist dann und nur dann eindeutig lösbar, wenn der Rang der -Koeffizientenmatrix gleich n ist:

 
Der Rang einer -Matrix mit ist höchstens gleich der kleineren der Zahlen m und n:

 
Rang einer regulären quadratischen Matrix mit n Zeilen und n Spalten:

 
Rang einer singulären quadratischen Matrix mit n Zeilen und n Spalten:

 
Rang der Nullmatrix :

 
Spaltenrang,   maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren.

Zeilenrang,   maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren.
 
Ist der Zeilenrang einer Matrix gleich dem Spaltenrang, so ist dies der Rang der Matrix .

 
Rang einer Trapezmatrix ist gleich der Anzahl nicht verschwindender Zeilen.
 
Elementare Umformungen von Matrizen  
 
Zwei Zeilen (oder Spalten) werden miteinander vertauscht.
 
Eine Zeile (oder Spalte) wird mit einer von null verschiedenen Zahl multipliziert.
 
Zu einer Zeile (oder Spalte) wird eine andere Zeile bzw. Spalte oder ein Vielfaches davon addiert.
 
Der Rang einer Matrix ändert sich nicht, wenn sie elementaren Umformungen unterworfen wird!
 
Die elementaren Umformungen werden auch beim Gauß-Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt.