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Determinanten, u.a. Hilfsmittel, um die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme (mit beliebig vielen Unbekannten) zu untersuchen.
Determinanten erlauben auch, die Lösung eines Gleichungssystems mit Hilfe der Cramerschen Regel zu ermitteln, allerdings ist das Verfahren höchst ineffizient!
Determinante 
(
, 
)
einer Matrix 
. Jeder n-reihigen quadratischen Matrix
läßt sich eindeutig eine reelle oder
komplexe Zahl zuordnen, die Determinante 
. Sie ist
gleich der Summe über alle möglichen Produkte aus n Matrixelementen, wobei
in jedem Summanden jeweils genau ein Element aus jeder Zeile und jeder
Spalte der Matrix vorkommen muß und jeder Summand mit 
oder 
gewichtet wird, je nachdem, ob die entsprechende Permutation 
der
Zahlen 
durch eine gerade oder ungerade Anzahl
von Vertauschungen
jeweils zweier benachbarter Indizes zustande gekommen ist.
Schreibweise:
Zu einer Menge von Indizes 
gibt es genau
verschiedene Permutationen, über die summiert werden muß.
Numerische Verfahren, die die Bestimmung der Determinante einer Matrix
beinhalten, besitzen daher im allgemeinen
einen Aufwand von 
und sind deshalb
ausgesprochen zeitaufwendig. Praktische Berechnung von
Determinanten im allgemeinen nach elementaren Umformungen der
Matrix auf Diagonalform.
Die numerische Berechnung von Determinanten mit 
erfolgt
wegen des deutlich geringeren Aufwandes mittels des Gaußschen Algorithmus.
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