Lineare Algebra, Boolesche Algebra und Graphen

• Lineare Algebra
  • Matrizen
    • Lineares Gleichungssystem mit drei Unbekannten (Beispiel)
    • Definition des Matrixbegriffes
    • Darstellung auf Computern
    • Diaganolelemente und Spur
    • Zeilen- und Spaltenvektoren
  • Spezielle Matrizen
    • Transponierte, konjugierte und adjungierte Matrizen
    • Quadratische Matrizen
      • Symmetrische und antisymmetrische Matrizen
      • Hermitesche und unitäre Matrizen
    • Dreiecksmatrizen
      • L-R-Zerlegung
      • Trapezmatrix
    • Diagonalmatrizen
      • Tridiagonal-, Band- und Hessenbergmatrix
      • Einheitsmatrix
      • Nullmatrix
  • Operationen mit Matrizen
    • Addition und Subtraktion von Matrizen
      • Rechenregeln für Addition und Subtraktion
    • Multiplikation einer Matrix mit skalarem Faktor c
      • Rechenregeln der Matrixaddition und Multiplikation mit einem Skalar
    • Multiplikation von Vektoren, Skalarprodukt
      • Skalarprodukt
      • Vektorprodukt und dyadisches Produkt
    • Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor
    • Multiplikation von Matrizen
    • Rechenregeln der Matrixmultiplikation
    • Multiplikation mit einer Diagonalmatrix
    • Matrizenmultiplikation nach dem Falk-Schema
      • Beispiele zum Falk-Schema
    • Zeilensummen- und Spaltensummenproben
  • Determinanten
    • Spezialfall: Zweireihige Determinanten
    • Allgemeine Rechenregeln für Determinanten
      • Wichtige Rechenregeln für Determinanten
      • Weitere allgemeine Rechenregeln
    • Determinantenwert null
    • Spezialfall: Dreireihige Determinanten
      • Lineares Gleichungssystem dritter Ordnung
      • Regel von Sarrus
      • Unterdeterminanten
      • Entwicklungssatz von Laplace
    • Determinanten höherer Ordnung
      • Unterdeterminante und algebraisches Komplement
      • Laplacescher Entwicklungssatz
    • Tips zur Berechnung n-reihiger Determinanten
    • Reguläre und inverse Matrix
      • Invertierbarkeit und Ähnlichkeit von Matrizen
    • Berechnung der inversen Matrix mit Determinanten
    • Rang einer Matrix
    • Bestimmung des Ranges mit Unterdeterminanten
  • Lineare Gleichungssysteme
    • Beispiel: Elektrisches Netzwerk
    • Verschiedene Arten von Gleichungssystemen
    • Systeme von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten
      • Grafische Methode
      • Analytische Methode
    • Cramersche Regel
  • Numerische Lösungsverfahren
    • Gaußscher Algorithmus für lineare Gleichungssysteme
      • Vorwärtselimination
      • Ablauf der Vorwärtselimination
      • Umformung in Dreiecksform
    • Pivotisierung
    • Rückwärtseinsetzen
    • LR-Zerlegung
      • Doolittle-Zerlegung
      • Crout-Zerlegung
      • Cholesky-Zerlegung
    • Lösbarkeit von n mal m-Gleichungssystemen
      • Lösbarkeitsbedingungen
      • Inhomogene Systeme
    • Gauß-Jordan-Verfahren zur Matrixinversion
      • Beispiel zum Verfahren von Gauß-Jordan
    • Berechnung der inversen Matrix
      • Beispiel für Systeme mit verschiedenen rechten Seiten
  • Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme
    • Beispiel: Elektrisches Netzwerk
    • Gesamtschritt-Verfahren (Jacobi)
    • Einzelschrittverfahren (Gauß-Seidel)
    • Konvergenzkriterien für iterative Verfahren
    • Speicherung der Koeffizientenmatrix
  • Übersicht über die Lösungsmethoden
    • Arten der Lösungsmethoden
    • Tabellarischer Vergleich
  • Eigenwertgleichungen
    • Charakteristisches Polynom
    • Eigenwertgleichungen orthogonaler Matrizen
    • Numerische Berechnung von Eigenwerten einer Matrix A
    • QR-Verfahren
  • Systeme von Ungleichungen und Lineare Optimierung
    • Aufgabenstellung
    • Mathematische Modellformulierung
    • Matrizenschreibweise der linearen Optimierung
    • Umwandlung von Ungleichungen in Gleichungen - Schlupfvariablen
    • Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen: Grafische Lösung
    • Simplexmethode, Simplexalgorithmus
      • Beschreibung des Algorithmus
      • Koordinatentransformation
      • Behandlung des Beispiels
      • Nichtlösbarkeit
      • Entartung
    • Dualität in der linearen Optimierung
  • Tensoren
    • Rechenregeln für Tensoren
• Boolesche Algebra - Anwendung in der Schaltalgebra
  • Grundbegriffe
    • Aussagen und Wahrheitswerte
    • Aussagenvariablen
  • Boolesche Verknüpfungen
    • Negation, nicht, not
    • Konjunktion, und, and
    • Disjunktion, (inklusives) oder, or
    • Rechenregeln
  • Boolesche Funktionen
    • Verknüpfungsbasis
  • Normalformen
    • Disjunktive Normalform
    • Konjunktive Normalform
    • Darstellung von Funktionen durch Normalformen
      • Algorithmus für die Disjunktive Normalform
      • Algorithmus für Konjunktive Normalform
      • Beispiel zur Umwandlung
  • Karnaugh-Veith-Diagramme
    • Erstellen eines KV-Diagrammes
    • Eintragen einer Funktion in ein KV-Diagramm
    • Minimierung mit Hilfe von KV-Diagrammen
      • Beispiel zur Minimierung
  • Minimierung nach Quine und McCluskey
    • Bestimmung der Primimplikanten
    • Beispiel: Primimplikanten einer Disjunktiven Normalform
    • Minimale Überdeckung
• Graphen und Algorithmen
  • Graphen
    • Grundbegriffe
    • Beispiele für Graphen
    • Bezeichnungen und Beziehungen
    • Gerichtete und zusammenhängende Graphen
    • Darstellung von Graphen
    • Bäume
  • Matchings
  • Netzwerke
    • Flüsse in Netzwerken
    • Eulerscher Zug und Hamiltonscher Kreis
      • Königsberger Brückenproblem
      • Hamiltonscher Kreis