Vektoranalysis, komplexe Funktionen und Differentialgleichungen

• Vektoranalysis
  • Felder
    • Symmetrien in Feldern
      • Kugel- und Zylindersymmetrie
  • Differentiation und Integration von Vektoren
    • Ableitung von Skalar-, Vektor- und Spatprodukt
    • Integration von Vektoren
    • Flächen- und Volumenelemente
    • Skalenfaktoren in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
    • Differentialoperatoren
  • Gradient und Potential
    • Beispiel: Elektrisches und magnetisches Feld
    • Darstellung des Gradienten in verschiedenen Koordinaten
    • Rechenregeln für Gradienten
  • Richtungsableitung und Vektorgradient
    • Vektorgradient
  • Divergenz und Gaußscher Integralsatz
    • Gaußsche Sätze
    • Darstellungen im dreidimensionalen Fall
    • Darstellung im zweidimensionalen Fall
    • Allgemeiner Fall und Rechenregeln
  • Rotation und Stokesscher Integralsatz
    • Stokesscher Integralsatz
    • Darstellung in verschiedenen Koordinatensystemen
    • Beispiel: Magnetfeld im homogenen Elektronenstrahl
    • Rechenregeln für die Rotation
  • Laplace-Operator und Greensche Formeln
    • Greensche Formeln
  • Kombinationen von div, rot und grad, Berechnung von Feldern
    • Quell- und wirbelfreies Feld
    • Wirbelfreie Felder
    • Quellenfreie Felder
    • Allgemeiner Fall
    • Zusammenfassung
• Komplexe Variablen und Funktionen
  • Komplexe Zahlen
    • Imaginäre Zahlen
    • Algebraische Darstellung komplexer Zahlen
    • Kartesische Darstellung komplexer Zahlen
    • Konjugiert komplexe Zahlen
    • Betrag einer komplexen Zahl
    • Trigonometrische Darstellung komplexer Zahlen
    • Exponentialdarstellung komplexer Zahlen
      • Umrechnung von kartesischer in trigonometrische Darstellung
      • Umrechnungsbeispiele
      • Umrechnung von trigonometrischer Darstellung in kartesische
    • Riemannsche Zahlenkugel
      • Abbildung der komplexen Ebene auf die Riemannsche Zahlenkugel
  • Elementare Rechenoperationen mit komplexen Zahlen
    • Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
      • Geometrische Deutung der Addition
    • Multiplikation und Division komplexer Zahlen
      • Division in kartesischer Darstellung
      • Multiplikation und Division in trigonometrischer Darstellung
      • Spezialfälle der Multiplikation
      • Geometrische Interpretation
      • Eigenschaften der Operationen im Körper der komplexen Zahlen
    • Potenzieren im Komplexen
      • Formel von Moivre
      • Zum Fundamentalsatz der Algebra
    • Wurzeln im Komplexen
      • Einheitswurzeln
  • Elementare Funktionen einer komplexen Variablen
    • Folgen im Komplexen
      • Mandelbrot-Menge
      • Julia-Mengen
    • Reihen im Komplexen
      • Konvergenz von komplexen Reihen
      • Konvergenzkreis
    • Exponentialfunktion im Komplexen
    • Natürlicher Logarithmus im Komplexen
      • Spezialfälle
    • Allgemeine Potenz im Komplexen
    • Trigonometrische Funktionen im Komplexen
      • Eulersche Formel
      • Additionstheoreme
      • Graphische Darstellung
      • Tangens und Cotangens im Komplexen
    • Hyperbelfunktionen im Komplexen
      • Additionstheoreme
      • Graphische Darstellung
      • Hyperbolischer Tangens und Cotangens im Komplexen
    • Inverse trigonometrische, inverse hyperbolische Funktionen im Komplexen
  • Anwendungen komplexer Funktionen
    • Darstellung von Schwingungen in der komplexen Ebene
      • Darstellung im Zeigerdiagramm
      • Komplexe Amplitude und Zeitfunktion
    • Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz
      • Überlagerung von Wechselspannungen
    • Komplexwertige Funktionen einer reellen Variablen
      • Ortskurve
      • Beispiele für Ortskurven
      • Inversion von Ortskurven
      • Inversionsregeln
      • Anwendung in der Elektrotechnik
  • Ableitung von Funktionen einer komplexen Variablen
    • Definition der Ableitung im Komplexen
    • Ableitungsregeln im Komplexen
      • Ableitung einiger spezieller Funktionen
      • Analytische Funktionen
    • Cauchy-Riemannsche Differenzierbarkeitsbedingungen
      • Cauchy-Riemannsche Differenzierbarkeitsbedingungen
    • Konforme Abbildungen
      • Lokale Konformität
      • Beispiel zur lokalen Konformität 1. Art
      • Beispiel zur lokalen Konformität 2. Art
      • Konforme Abbildung
      • Einfache konforme Abbildungen
  • Integration in der komplexen Ebene
    • Komplexe Kurvenintegrale
      • Eigenschaften des komplexen Kurvenintegrals
    • Cauchyscher Integralsatz
      • Wegeunabhängigkeit der komplexen Integration
      • Cauchyscher Integralsatz
    • Stammfunktionen im Komplexen
    • Cauchysche Integralformeln
    • Taylorreihe einer analytischen Funktion
    • Laurentreihen
    • Klassifikation singulärer Punkte
      • Klassifikation isolierter Singularitäten
        • Hebbare Singularität
        • n-facher Pol
        • Wesentliche Singularität
    • Residuensatz
      • Berechnung von Residuen
    • Inverse Laplacetransformation
• Differentialgleichungen
  • Allgemeines
    • Arten von Differentialgleichungen
    • Lösungen von Differentialgleichungen
  • Geometrische Interpretation
    • Richtungsfeld und Isokline
    • Grafische Lösung
  • Lösungsmethoden bei Differentialgleichungen erster Ordnung
    • Trennung der Variablen
    • Substitution
    • Exakte Differentialgleichung
    • Integrierender Faktor
  • Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung
    • Variation der Konstanten
    • Allgemeine Lösung
    • Bestimmung einer partikulären Lösung
    • Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
  • Einige spezielle Gleichungen
    • Bernoullische Differentialgleichung
    • Riccatische Differentialgleichung
    • Clairautsche Differentialgleichung
  • Differentialgleichungen 2. Ordnung
    • Einfache Spezialfälle
  • Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
    • Homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
    • Inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung
    • Zurückführung spezieller Differentialgleichungen 2. Ordnung auf Differentialgleichungen 1. Ordnung
    • Lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
      • Beispiel: Der gedämpfte harmonische Oszillator
      • Beispiel: Elektromagnetische Schwingkreise
  • Differentialgleichungen n-ter Ordnung
    • Hermitesche Differentialgleichung
      • Hermitesche Polynome
    • Legendresche Differentialgleichung
      • Lösung der Legendreschen Differentialgleichung
    • Besselsche Differentialgleichung
      • Besselfunktionen
    • Gaußsche Differentialgleichung
  • Systeme von gekoppelten Differentialgleichungen 1. Ordnung
    • Beispiele zur Reduktion
    • Beispiel: Gekoppelter Schwingkreis
  • Systeme von linearen homogenen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
    • Beispiel
  • Partielle Differentialgleichungen
    • Lösung durch Separation
      • Wellengleichung
      • Laplacegleichung in Kugelkoordinaten
  • Numerische Integration von Differentialgleichungen
    • Euler-Verfahren
    • Verfahren von Heun
    • Modifiziertes Euler-Verfahren
    • Runge-Kutta-Verfahren
      • Klassisches Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung
      • Schrittweitenanpassung
      • Dormand-Prince-Verfahren
      • Programmablaufder Runge-Kutta-Verfahren
    • Tabelle der numerischen Integrationsverfahren gewöhnlicher Differentialgleichungen
    • Runge-Kutta-Verfahren für Systeme von Differentialgleichungen
    • Differenzenverfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen
      • Liebmannsche Methode
      • Beispiel: Quadratische Platte mit fester Temperatur am Rand
    • Die Methode der finiten Elemente
      • Aufstellung der Grundgleichungen
      • Beispiel: Die schwingende Saite